レバータイプの蛇口にはパッキンだけでなくカートリッジが内蔵されています。固くなる主な原因はカートリッジの劣化によるものだと考えられます。
レバータイプは通常のハンドルタイプと違いパッキンだけでなくカートリッジの交換が必要になります。